Mathematik als Eckpfeiler für Innovationen im IKT-Bereich

1. Mathematik für den grundlegenden Durchbruch

Wir hören oft von vielen Kollegen, dass es bei Mathematik hauptsächlich darum geht, Theoreme zu beweisen. Das ist, als würde man sagen, dass es bei Literatur vor allem darum geht, Sätze zu schreiben.  Die Mathematik und ihre Auswirkungen auf die IKT-Industrie sind zweifellos mehr als das.  
Als junger Student wurde mir die folgende Geschichte erzählt und ich war ziemlich erstaunt, wie effektiv Phantasie (und in Erweiterung die Vorstellungskraft) in der Mathematik sein kann, um schwierige Probleme zu lösen: Ein Mathematiker ritt auf seinem Kamel durch die Wüste, als er drei Brüder traf, die offenbar sehr beschäftigt waren. Ihr Vater war gerade gestorben und hatte ihnen mit einer sehr ungewöhnlichen testamentarischen Verfügung 17 Kamele hinterlassen. Urteilen Sie selbst: Der Älteste sollte die Hälfte der Kamele erhalten, der Zweite ein Drittel und der Jüngere ein Neuntel. Die Neuronen des Mathematikers, die jetzt gefordert waren, eine Primzahl nach dem vorgeschriebenen Verhältnis zu teilen, fanden schnell die Lösung: Großzügig fügte er sein Kamel zu den 17 der Erbschaft hinzu, so dass der Älteste 9, der Zweite 6 und der Dritte 3 erhalten konnte, entsprechend der im Testament vorgesehenen Verteilung. Nachdem der Mathematiker das Problem gelöst hatte, brauchte er nur noch zu sagen: „Und jetzt gebt mir mein Kamel zurück.“

Diese Geschichte zeigt die Grundzutaten der mathematischen Forschung wie insgesamt der kreativen Forschung auf. In der mathematischen Forschung ist Vorstellungskraft wichtiger als Wissen. Wenn ein bestimmtes vorgegebenes Problem nicht lösbar ist, wird sich ein Mathematiker ein neues Problem vorstellen. Dies steht in deutlichem Gegensatz zu klassischen Ansätzen, die sich an die ursprünglichen Grenzen von Problemen halten würden. Die neue elegante Lösung erfüllt häufig nicht die anfänglichen einschränkenden Bedingungen. Sie wird jedoch häufig eine neue Sichtweise auf das Problem und eine bahnbrechende Lösung liefern, für die ein Konsens darüber besteht, dass wir die anfänglichen Einschränkungen ändern müssen, um vorwärts zu kommen. Natürlich kann ein Problem in vielen Fällen mit den anfänglichen Einschränkungen gelöst werden, aber Mathematiker werden sich weiterhin bemühen, die Lösung zu verallgemeinern, indem sie die minimal erforderliche Hypothese finden. Verallgemeinerung ist der Schlüssel in der Mathematik. Dies ist bei technischen Anwendungen sehr wichtig für die sogenannte Robustheit einer Lösung oder für die Erweiterung eines Produkts.  Die Lösungsqualität sollte nicht stark von der Optimalität abweichen, wenn kleine Änderungen des Problems auftreten. Grundlegende Durchbrüche in der Mathematik basieren häufig auch auf der Existenz von Lösungen, ohne notwendigerweise zugleich eine algorithmische Konstruktion dafür bereitzustellen. Dies klingt ein bisschen wie Magie, ist aber als  als nicht-konstruktiver Beweis (auch als reiner Existenzsatz bekannt) bekannt, der die Existenz einer bestimmten Art von Objekten beweist, ohne ein Beispiel anzugeben. Dies ist sehr wichtig und hat zu wichtigen grundlegenden Durchbrüchen im IKT-Bereich geführt. Die berühmte Arbeit von Shannon aus dem Jahr 1948 „A Mathematical Theory of Communication“ (deutscher Titel „Mathematische Grundlagen in der Informationstheorie“) behandelt die sogenannte Kapazität eines Kanals, aber Shannon hat dies bewiesen, ohne ein praktisches Codierungsschema zu entwickeln, um dies zu erreichen. 

2. Algorithmen für praktische Durchbrüche

Was genau ist ein Algorithmus? Ein Algorithmus in der Mathematik ist ein Verfahren, eine Beschreibung einer Reihe von Schritten, mit denen eine mathematische Berechnung gelöst werden kann.  Das ist wie ein Kochrezept. Die Bezeichnung leitet sich vom lateinisierten Namen „Algorismi“ des Mathematikers al-Chwarizmi ab, der im 9. Jahrhundert in Bagdad arbeitete.  Algorithmen sind allgegenwärtig und viele von uns kennen den Viterbi-Algorithmus, die Fast Fourier Transform, den Branch and Bound-Algorithmus, den Erwartungs-Maximierungs-Algorithmus (EM-Algorithmus), den Dijkstra-Algorithmus, das Gradientenverfahren, die Newton-Methode oder den LLL-Algorithmus , nur um einige zu nennen. Sie haben einen großen Einfluss auf die Entwicklung der Telekommunikationsbranche und einige sind unentbehrlich geworden. Aber es ist ein langer Weg von der Grundlagenmathematik zu mathematischen Algorithmen und dann zu technischen Anwendungen. Die berühmte Fourier-Transformation ist ein typisches Beispiel. Die Idee der Fourier-Transformation besteht darin, eine Funktion der Zeit in ihre konstituierenden Frequenzen zu zerlegen. Sie wird in allen wichtigen elektrotechnischen Kursen unterrichtet, da sie einen direkten Einblick in das zu verarbeitende Signal gibt. Es war der französische Mathematiker Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), der diese Theorie startete, die sich aus Anwendungsproblemen bei Wärmeübertragung  und Schwingungen ergab. Es hat viele Jahre gedauert, einen Algorithmus abzuleiten, um sie zu implementieren. Obwohl es einige Vorarbeiten des deutschen Mathematikers Gauß zur schnellen diskreten Fourier-Transformation (DFT) gibt, veröffentlichten James Cooley und John Tukey erst 1965 den berühmten Fast-Fourier-Transformations-Algorithmus. Die FFT wurde dann zum Herzstück aller wichtigen technologischen Innovationen wie Wi-Fi, ADSL, LTE oder DVB. 

3. Was kommt als nächstes?

Seit 1948 fehlen vielen Wissenschaftlern in unserem Bereich wegweisende Papiere als Orientierungshilfe. Seit Shannon fühlen sie sich etwas verloren. Beachten Sie auch, dass 1948 aus historischer Sicht ein Schlüsseljahr im Bereich der IKT war, da in diesem Jahr viele andere grundlegende Beiträge erschienen. Die Arbeit von Wiener „Cybernetics, or Control and Communication in the Animal and the Machine“ (deutscher Titel: „Kybernetik. Regelung und Nachrichtenübertragung im Lebewesen und in der Maschine“) war Vorreiter auf dem Gebiet der Signalverarbeitung mit vielen Anwendungen in Bezug auf Erkennung, Schätzung und Steuerung von Kommunikationssystemen. Das Buch „Theory of Games and Economic Behaviour“ (deutscher Titel: „Spieltheorie und wirtschaftliches Verhalten“) von J. von Neumann und O. Morgenstern eröffnete das Feld der Spieltheorie und allgemeiner der Lernagenten-Systeme. Alle diese Beiträge waren wesentliche Grundlagen für die langjährige algorithmische Forschung.   Was streben wir also für 2028 an? Tatsächlich waren fortgeschrittene mathematische Werkzeuge noch nie notwendiger als jetzt und einige neue grundlegende Werkzeuge sind bereits vorhanden, um über die gegenwärtigen Grenzen hinauszugehen (Shannon-Grenze und Nyquist-Grenze, um nur diese zu nennen). Lange haben wir uns damit beschäftigt, die immer gleichen Modelle zu verbessern, da es schwierig ist, mit neuen Modellen umzugehen. Aber wie allgemein bekannt ist, versuchen wir etwas nicht, weil es schwer ist, sondern weil wir es nicht versuchen, ist es schwer.